立方和与差的公式

在数学中，立方和与差的公式是指将一组数的立方和或立方差表示成该组数的和或差的公式。

立方和公式

设有n个数a1,a2,a3,...,an，它们的立方和为S，那么它们的和的立方可以表示为：

(a1+a2+a3+...+an)³ = a1³+a2³+a3³+...+an³+3(a1²a2+a1²a3+...+an-1²an+an-1²an+...+a2a3²+a2a4²+...+an-2an-1²)

将上式化简可得立方和公式：

S = a1³+a2³+a3³+...+an³ = [(a1+a2+a3+...+an)³-3(a1²a2+a1²a3+...+an-1²an+an-1²an+...+a2a3²+a2a4²+...+an-2an-1²)]/3

立方差公式

设有n个数a1,a2,a3,...,an，它们的立方差为D，那么它们的差的立方可以表示为：

(a1-a2)³+(a2-a3)³+...+(an-1-an)³ = 3(a1-a2)(a2-a3)²+3(a2-a3)(a3-a4)²+...+3(an-2-an-1)(an-1-an)²

将上式化简可得立方差公式：

D = a1³-a2³+a2³-a3³+...+an-1³-an³ = [(a1-a2)³+(a2-a3)³+...+(an-1-an)³]/3

数形结合

立方和与差的公式不仅在数学上有重要的应用，它们也与几何图形密切相关。

以立方和公式为例，设有一条线段AB，其长度为a，那么以该线段为边长的正方体的体积为a³。将该线段分成n段，每段长度为网友，那么以这些线段为边长的n个正方体的体积之和为a1³+a2³+a3³+...+an³。

同理，以立方差公式为例，设有一条线段AB，其长度为a，那么以该线段为边长的正方体的体积为a³。将该线段分成n段，每段长度为网友，那么以这些线段为边长的n个正方体的体积之差为a1³-a2³+a2³-a3³+...+an-1³-an³。

本文看点

立方和、立方差、数形结合